TEMARIO DE UNIDAD 4
4.1 Definición de serie.
4.1.1 Finita.
4.1.2 Infinita
4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raiz.
4.3 Serie de potencias.
4.4 Radio de convergencia.
4.5 Serie de Taylor.
4.6 Representación de funciones mediante serie de Taylor.
4.7 Cálculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.
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4.1 Series
Una serie es una sucesión de un conjunto de términos formados según una ley determina.
Pir ejemplo, 1,4,9,16,25
Es la suma indicada de los términos de una secesión. Así de las sucesiones anteriores obtenemos la serie:
1+4+9+16+25
Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o seri esfinita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o seriede llamasucesión infinita.
El término general ó término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos.
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4.1.1 Serie Infinita
Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales.
Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.
Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.
Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:
Teorema:
Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .
4.1.2 Serie Finita
Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero)
y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1.
La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita.
4.2 Serie numérica y convergencia. Prueba de razón y raíz.
Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o eventos). Como un conjunto, que contiene los miembros (también llamados elementos o términos ), y el número de términos (posiblemente infinita) se llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, el orden importa, y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones en la secuencia. Una secuencia es una discreta función.
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4.3 Serie de potencias
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:
Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:
Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo
donde
Es interesante saber cuáles son los valores de x Î R para los que las respectivas series funcionales se convierten en series numéricas convergentes.
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4.5 Serie de Taylor
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas, en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función esta dado por:
Con frecuencia es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = xi+1 - xi expresando la serie de Taylor como:
Uso de la expansión en serie de Taylor para aproximar una función con un número infinito de derivadas.
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4.6 Representación de funciones mediante serie de Taylor
Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.
Funcion e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
f(x)=e(x).... f(o)=1
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4.6. Representación de funciones mediante la serie de Taylor
En matemáticas, una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r).
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.Esta representación tiene tres ventajas importantes:La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.Definición:
La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias que puede ser escrito de una manera más compacta como donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno.